Considere a equação
(a) Verifique que
e
são soluções fundamentais.
(b) Resolva o PVI com
e
(b) Resolva o PVI com
Passo 1
O enunciado nos dá uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes:
Temos
O conteúdo é resolução de EDO homogênea usando soluções fundamentais e, depois, achar a solução do PVI com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro mostramos que
satisfaz a EDO. Calculamos:
Substituindo em
:
logo
é solução.
Passo 3
Agora mostramos que
satisfaz a EDO. Calculamos:
Substituindo em
:
logo
também é solução.
Passo 4
Para confirmar que são fundamentais, calculamos o Wronskiano:
Como o Wronskiano é não-nulo,
y1 e
y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.
Passo 5
A solução geral da EDO é
Calculamos
:
Usando as condições iniciais:
Para
:
Resposta
A solução do PVI é