Considere a equação
y^prime prime(t)+2 y^prime(t)+y(t)=0
(a) Verifique que y1(t)=e^-t e y2(t)=t e^-t são soluções fundamentais.
(b) Resolva o PVI com y(0)=4 e y^prime(0)=6

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes:
Temos
y''(t)+2y'(t)+y(t)=0
O conteúdo é resolução de EDO homogênea usando soluções fundamentais e, depois, achar a solução do PVI com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro mostramos que y1(t)=e^-t satisfaz a EDO. Calculamos:
y1'(t)=-e^-t,
y1''(t)=e^-t
Substituindo em y''+2y'+y:
e^-t+2(-e^-t)+e^-t=e^-t-2e^-t+e^-t=0,
logo y1 é solução.

Passo 3

Agora mostramos que y2(t)=t e^-t satisfaz a EDO. Calculamos:
y2'(t)=e^-t-t e^-t=e^-t(1-t),
y2''(t)=-e^-t(1-t)-e^-t=-2e^-t+t e^-t
Substituindo em y''+2y'+y:
(t e^-t-2e^-t)+2(e^-t-t e^-t)+t e^-t
=t e^-t-2e^-t+2e^-t-2t e^-t+t e^-t=0,
logo y2 também é solução.

Passo 4

Para confirmar que são fundamentais, calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)=eginvmatrixe^-t & t e^-t - e^-t & e^-t(1-t) =e^-2t(1-t)+t e^-2t=e^-2t eq0
Como o Wronskiano é não-nulo, y1 e y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.

Passo 5

A solução geral da EDO é
Calculamos :
Usando as condições iniciais:
Para :

Resposta

A solução do PVI é
y(t)=4e^-t+10t e^-t

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