Calcule lim x 0^+ x^2 ln x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de $ x^{2} \ln x $ quando $ x $ se aproxima de 0 por valores positivos. Isso envolve conceitos de limites e logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como funções polinomiais como $ x^{2} $ e logaritmos como $ \ln x $ se comportam perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas partes da função: $ x^{2} $ e $ \ln x $. Sabemos que, quando $ x $ se aproxima de 0, $ x^{2} $ também se aproxima de 0. Por outro lado, $ \ln x $ tende a menos infinito ($ -\infty $) quando $ x $ vai para 0 por valores positivos.

Passo 3

Então, estamos lidando com uma forma do tipo $ 0 \times (-\infty) $, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Vamos reescrever $ x^{2} \ln x $ como $ \frac{\ln x}{1/x^{2}} $. Agora, temos uma forma $ \frac{-\infty}{\infty} $, que ainda é uma indeterminação, mas agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente. Então, vamos derivar $ \ln x $ e $ 1/x^{2} $:
  • Derivada de $ \ln x $ é $ \frac{1}{x} $.
  • Derivada de $ 1/x^{2} $ é $ -\frac{2}{x^{3}} $.

Passo 6

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
limx to 0^+ ln x1/x^2 = limx to 0^+ 1x-2x^3 = limx to 0^+ -x^22

Passo 7

Simplificando a expressão $ \frac{-x^{2}}{2} $, vemos que quando $ x $ tende a 0, $ x^{2} $ também tende a 0. Portanto, todo o termo $ \frac{-x^{2}}{2} $ tende a 0.

Resposta

O limite $ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \ln x $ é igual a 0.

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