Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de $ x^{2} \ln x $ quando $ x $ se aproxima de 0 por valores positivos. Isso envolve conceitos de limites e logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como funções polinomiais como $ x^{2} $ e logaritmos como $ \ln x $ se comportam perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas partes da função: $ x^{2} $ e $ \ln x $. Sabemos que, quando $ x $ se aproxima de 0, $ x^{2} $ também se aproxima de 0. Por outro lado, $ \ln x $ tende a menos infinito ($ -\infty $) quando $ x $ vai para 0 por valores positivos.
Passo 3
Então, estamos lidando com uma forma do tipo $ 0 \times (-\infty) $, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Vamos reescrever $ x^{2} \ln x $ como $ \frac{\ln x}{1/x^{2}} $. Agora, temos uma forma $ \frac{-\infty}{\infty} $, que ainda é uma indeterminação, mas agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 5
A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente. Então, vamos derivar $ \ln x $ e $ 1/x^{2} $:
- Derivada de $ \ln x $ é $ \frac{1}{x} $.
- Derivada de $ 1/x^{2} $ é $ -\frac{2}{x^{3}} $.
Passo 6
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital:
Passo 7
Simplificando a expressão $ \frac{-x^{2}}{2} $, vemos que quando $ x $ tende a 0, $ x^{2} $ também tende a 0. Portanto, todo o termo $ \frac{-x^{2}}{2} $ tende a 0.
Resposta
O limite $ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \ln x $ é igual a 0.