a) Qual a velocidade angular necessária da hélice principal para elevar o helicóptero verticalmente do chão, com velocidade constante (dica: utilize a variação temporal do momento linear vertical e assuma que o momento vertical aplicado pelas pás no ar está concentrado no ponto médio de cada pá)?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir qual a velocidade angular necessária da hélice principal de um helicóptero para que ele possa subir verticalmente do chão com uma velocidade constante. Isso envolve conceitos de dinâmica, mais especificamente a variação do momento linear vertical. Para resolver isso, precisamos entender como as forças das pás da hélice interagem com o ar para gerar o impulso necessário para levantar o helicóptero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o helicóptero está subindo com velocidade constante, a aceleração é zero. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = ma $). Como a aceleração é zero, a força total resultante também deve ser zero. Isso significa que a força que as pás da hélice exercem para empurrar o ar para baixo deve exatamente equilibrar o peso do helicóptero.

Passo 3

O peso do helicóptero ($ P P é m m çã g $):
g
Para que o helicóptero suba com velocidade constante, a força de empuxo gerada pela hélice ($ F $) deve ser igual ao peso:
P = m cdot g
F

Passo 4

Agora, vamos relacionar a força de empuxo com a velocidade angular da hélice. A força que cada pá da hélice exerce no ar depende da velocidade com que ela está girando. Se a hélice tem $ N $ pás, e cada pá tem um comprimento $ L N á v L á \omega $) pela fórmula:
v

Passo 5

A força exercida por cada pá está relacionada à massa de ar que ela empurra e à mudança na velocidade desse ar. Se considerarmos que a variação temporal do momento linear é igual à força, temos:
F = d(mv)dt
Como a massa de ar empurrada por unidade de tempo é $ \dot{m} $, a força pode ser expressa como:
dotm
Substituindo $ v $ por $ \omega \cdot L $:
F = dotm cdot v

Passo 6

Como temos $ F = m \cdot g $, podemos igualar as duas expressões:
F = m cdot g
Agora, resolvendo para $ \omega $:
dotm cdot omega cdot L = m cdot g

Resposta

A velocidade angular necessária da hélice principal para elevar o helicóptero verticalmente com velocidade constante é dada por:
omega = m cdot gdotm cdot L
Onde:
  • $ m $ é a massa do helicóptero,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ \dot{m} $ é a taxa de fluxo de massa do ar empurrado pelas pás,
  • $ L $ é o comprimento de cada pá da hélice.

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