a) Qual a velocidade angular necessária da hélice principal para elevar o helicóptero verticalmente do chão, com velocidade constante (dica: utilize a variação temporal do momento linear vertical e assuma que o momento vertical aplicado pelas pás no ar está concentrado no ponto médio de cada pá)?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir qual a velocidade angular necessária da hélice principal de um helicóptero para que ele possa subir verticalmente do chão com uma velocidade constante. Isso envolve conceitos de dinâmica, mais especificamente a variação do momento linear vertical. Para resolver isso, precisamos entender como as forças das pás da hélice interagem com o ar para gerar o impulso necessário para levantar o helicóptero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando o helicóptero está subindo com velocidade constante, a aceleração é zero. Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = ma $). Como a aceleração é zero, a força total resultante também deve ser zero. Isso significa que a força que as pás da hélice exercem para empurrar o ar para baixo deve exatamente equilibrar o peso do helicóptero.
Passo 3
O peso do helicóptero ($ P
m
g $):
Para que o helicóptero suba com velocidade constante, a força de empuxo gerada pela hélice ($ F $) deve ser igual ao peso:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a força de empuxo com a velocidade angular da hélice. A força que cada pá da hélice exerce no ar depende da velocidade com que ela está girando. Se a hélice tem $ N $ pás, e cada pá tem um comprimento $ L
v
\omega $) pela fórmula:
Passo 5
A força exercida por cada pá está relacionada à massa de ar que ela empurra e à mudança na velocidade desse ar. Se considerarmos que a variação temporal do momento linear é igual à força, temos:
Como a massa de ar empurrada por unidade de tempo é $ \dot{m} $, a força pode ser expressa como:
Substituindo $ v $ por $ \omega \cdot L $:
Passo 6
Como temos $ F = m \cdot g $, podemos igualar as duas expressões:
Agora, resolvendo para $ \omega $:
Resposta
A velocidade angular necessária da hélice principal para elevar o helicóptero verticalmente com velocidade constante é dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa do helicóptero,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ \dot{m} $ é a taxa de fluxo de massa do ar empurrado pelas pás,
- $ L $ é o comprimento de cada pá da hélice.