Encontre os valores críticos da função f(x)=5 x^2 / 3-2 x^5 / 3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar os valores críticos da função $ f(x) = 5x^{2/3} - 2x^{5/3} $. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas. Precisaremos calcular a derivada da função e identificar onde ela é igual a zero ou onde não existe, pois esses pontos são chamados de valores críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que valores críticos de uma função acontecem onde sua derivada é zero ou onde a derivada não existe. Portanto, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de $ f(x) $.

Passo 3

A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Para derivar $ f(x) = 5x^{2/3} - 2x^{5/3} $, vamos usar a Regra do Poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.

Passo 4

Aplicando a Regra do Poder:
  • A derivada de $ 5x^{2/3} $ é $ 5 \cdot \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{10}{3}x^{-1/3} $.
  • A derivada de $ -2x^{5/3} $ é $ -2 \cdot \frac{5}{3}x^{5/3 - 1} = -\frac{10}{3}x^{2/3} $.
Portanto, a derivada de $ f(x) $ é:
5x^2/3

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão da derivada:
f'(x) = 103 ( x^-1/3 - x^2/3 )
f'(x) = 103 ( 1x^1/3 - x^2/3 )

Passo 6

Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
103 ( 1x^1/3 - x^2/3 ) = 0
Como a constante $ \frac{10}{3} $ não é zero, temos:
103

Passo 7

Resolvendo a equação:
1x^1/3 = x^2/3
Multiplicamos ambos os lados por $ x^{1/3} $:
x^1/3
1 = x^1/3 cdot x^2/3
1 = x^(1/3 + 2/3)
1 = x^1

Passo 8

Além disso, precisamos verificar onde a derivada não existe. Observando $ f’(x) = \frac{10}{3} \left( \frac{1}{x^{1/3}} - x^{2/3} \right) $, vemos que a derivada não está definida quando $ x = 0 $, pois temos uma divisão por zero.

Passo 9

Portanto, os valores críticos da função são $ x = 1 $ e $ x = 0 $.

Resposta

Os valores críticos da função $ f(x) = 5x^{2/3} - 2x^{5/3} $ são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

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