Encontre os valores críticos da função
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Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar os valores críticos da função $ f(x) = 5x^{2/3} - 2x^{5/3} $. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas. Precisaremos calcular a derivada da função e identificar onde ela é igual a zero ou onde não existe, pois esses pontos são chamados de valores críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que valores críticos de uma função acontecem onde sua derivada é zero ou onde a derivada não existe. Portanto, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de $ f(x) $.
Passo 3
A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Para derivar $ f(x) = 5x^{2/3} - 2x^{5/3} $, vamos usar a Regra do Poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Passo 4
Aplicando a Regra do Poder:
- A derivada de $ 5x^{2/3} $ é $ 5 \cdot \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{10}{3}x^{-1/3} $.
- A derivada de $ -2x^{5/3} $ é $ -2 \cdot \frac{5}{3}x^{5/3 - 1} = -\frac{10}{3}x^{2/3} $.
Portanto, a derivada de $ f(x) $ é:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão da derivada:
Passo 6
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
Como a constante $ \frac{10}{3} $ não é zero, temos:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Multiplicamos ambos os lados por $ x^{1/3} $:
Passo 8
Além disso, precisamos verificar onde a derivada não existe. Observando $ f’(x) = \frac{10}{3} \left( \frac{1}{x^{1/3}} - x^{2/3} \right) $, vemos que a derivada não está definida quando $ x = 0 $, pois temos uma divisão por zero.
Passo 9
Portanto, os valores críticos da função são $ x = 1 $ e $ x = 0 $.
Resposta
Os valores críticos da função $ f(x) = 5x^{2/3} - 2x^{5/3} $ são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.