Encontre a área da região delimitada pelas curvas.
y=x^2-2 x, y=-x^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas $ y = x^{2} - 2x $ e $ y = -x^{2} + 4 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente, integrais definidas que ajudam a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os valores de $ x $ onde $ x^{2} - 2x = -x^{2} + 4 $. Igualamos as duas equações para achar os pontos de interseção.

Passo 3

Resolvendo a equação $ x^{2} - 2x = -x^{2} + 4 $:
x^2 - 2x = -x^2 + 4
Simplificando dividindo todos os termos por 2:
x^2 - 2x + x^2 - 4 = 0 implies 2x^2 - 2x - 4 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - x - 2 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $. Substituindo:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, as soluções são:
a = 1

Passo 5

Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Vamos esboçar as curvas rapidamente para entender qual está acima da outra nesse intervalo.
Para $ x $ entre -1 e 2:
  • A curva $ y = -x^{2} + 4 $ está acima da curva $ y = x^{2} - 2x $.

Passo 6

A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, entre os limites de integração.
Então, a área $ A $ é:
A
Simplificando a expressão dentro da integral:
A = integral-1^2 [ (-x^2 + 4) - (x^2 - 2x) ] , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
A = integral-1^2 (-2x^2 + 2x + 4) , dx
Integrando termo a termo:
A = [ -23x^3 + x^2 + 4x ]-1^2

Passo 8

Vamos agora substituir os limites de integração:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -1 $:
-23(2)^3 + (2)^2 + 4(2) = -163 + 4 + 8 = -163 + 12 = 203
Subtraindo:
x = -1

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 9 unidades quadradas.

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