Encontre a área da região delimitada pelas curvas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas $ y = x^{2} - 2x $ e $ y = -x^{2} + 4 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente, integrais definidas que ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os valores de $ x $ onde $ x^{2} - 2x = -x^{2} + 4 $. Igualamos as duas equações para achar os pontos de interseção.
Passo 3
Resolvendo a equação $ x^{2} - 2x = -x^{2} + 4 $:
Simplificando dividindo todos os termos por 2:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^{2} - x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $. Substituindo:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Vamos esboçar as curvas rapidamente para entender qual está acima da outra nesse intervalo.
Para $ x $ entre -1 e 2:
- A curva $ y = -x^{2} + 4 $ está acima da curva $ y = x^{2} - 2x $.
Passo 6
A área entre duas curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, entre os limites de integração.
Então, a área $ A $ é:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Vamos agora substituir os limites de integração:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é 9 unidades quadradas.