A região R é limitada pela curva y=x^2+1, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=1. Encontre o volume do sólido obtido girando R em torno do eixo x.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volume de sólidos de revolução. O problema pede para a gente encontrar o volume do sólido formado ao girar a região $ R $, que está limitada pela curva $ y = x^{2} + 1 $, pelo eixo $ x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $, em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para calcular o volume de um sólido de revolução.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender bem a região $ R $ que estamos girando. Essa região está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ no eixo $ x $, e entre o eixo $ x $ (onde $ y = 0 $) e a curva $ y = x^{2} + 1 $.

Passo 3

O método dos discos funciona cortando o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação (neste caso, o eixo $ x $) e calculando o volume de cada disco. A área de cada disco é dada por $ \pi (R(x))^{2} $, onde $ R(x) $ é a função que descreve o raio do disco.

Passo 4

Aqui, nossa função é $ y = x^{2} + 1 $. Então, o raio de cada disco é $ R(x) = x^{2} + 1 $. O volume de cada pequeno disco é então $ \pi (x^{2} + 1)^{2} dx $, onde $ dx $ é a espessura da fatia.

Passo 5

Para encontrar o volume total, a gente integra a área dos discos de $ x = 0 $ até $ x = 1 $:
x = 0

Passo 6

Vamos expandir $ (x^{2} + 1)^{2} $ para facilitar a integração:
(x^2 + 1)^2

Passo 7

Agora, substituímos essa expansão na integral:
V = pi integral0^1 (x^4 + 2x^2 + 1) dx

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^4 dx = x^55
integral 2x^2 dx = 2x^33
integral 1 dx = x

Passo 9

Então, o volume fica:
V = pi [ x^55 + 2x^33 + x ]0^1

Passo 10

Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para facilitar, podemos colocar todas as frações com o mesmo denominador (15):
1^55 + 2 cdot 1^33 + 1 = 15 + 23 + 1
Para $ x = 0 $:
Todos os termos são zero, então:
315 + 1015 + 1515 = 2815

Resposta

Portanto, o volume do sólido é $ V = \frac{28}{15} \pi $ unidades cúbicas.

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