A região
é limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
. Encontre o volume do sólido obtido girando
em torno do eixo
.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo sobre volume de sólidos de revolução. O problema pede para a gente encontrar o volume do sólido formado ao girar a região $ R $, que está limitada pela curva $ y = x^{2} + 1 $, pelo eixo $ x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $, em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para calcular o volume de um sólido de revolução.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender bem a região $ R $ que estamos girando. Essa região está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ no eixo $ x $, e entre o eixo $ x $ (onde $ y = 0 $) e a curva $ y = x^{2} + 1 $.
Passo 3
O método dos discos funciona cortando o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação (neste caso, o eixo $ x $) e calculando o volume de cada disco. A área de cada disco é dada por $ \pi (R(x))^{2} $, onde $ R(x) $ é a função que descreve o raio do disco.
Passo 4
Aqui, nossa função é $ y = x^{2} + 1 $. Então, o raio de cada disco é $ R(x) = x^{2} + 1 $. O volume de cada pequeno disco é então $ \pi (x^{2} + 1)^{2} dx $, onde $ dx $ é a espessura da fatia.
Passo 5
Para encontrar o volume total, a gente integra a área dos discos de $ x = 0 $ até $ x = 1 $:
Passo 6
Vamos expandir $ (x^{2} + 1)^{2} $ para facilitar a integração:
Passo 7
Agora, substituímos essa expansão na integral:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Então, o volume fica:
Passo 10
Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ x = 1 $:
Para facilitar, podemos colocar todas as frações com o mesmo denominador (15):
Para $ x = 0 $:
Todos os termos são zero, então:
Resposta
Portanto, o volume do sólido é $ V = \frac{28}{15} \pi $ unidades cúbicas.