Calcule:
lim x 0^+ ln (3 x)ln (4 x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+ln(3x)ln(4x)
Estamos no tema de limites envolvendo funções logarítmicas e comportamento assintótico: sabemos que ln xto -infty quando xto0^+ e vamos usar propriedades de log para simplificar a expressão.

Passo 2

Usamos a identidade ln(ab)=ln a+ln b para separar as constantes de x. Assim,
ln(3x)=ln x + ln 3, ln(4x)=ln x + ln 4

Passo 3

Fatoramos ln x em numerador e denominador:
ln(3x)ln(4x) =ln x + ln 3ln x + ln 4 =ln xl(1 + ln 3ln xr)ln xl(1 + ln 4ln xr)
Como xto0^+ temos ln xto -infty, logo ln 3ln xto0 e ln 4ln xto0.

Passo 4

Substituindo esses limites na fração, obtemos
limxto0^+ln(3x)ln(4x) =limxto0^+1 + ln 3ln x1 + ln 4ln x =1+01+0=1

Resposta

1

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