Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam a, b, c in R quaisquer
(i) (-a) cdot(-b)=a cdot b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer a,binR, vale
(-a)cdot(-b)=acdot b
Vamos usar os axiomas de corpo dos reais—em especial o elemento neutro aditivo 0, o inverso aditivo e a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Observe que 0 = b + (-b). Multiplicando pelos dois lados por -a e usando a distributividade, temos
(-a)cdot 0 = (-a)cdotl(b+(-b)r) = (-a)cdot b + (-a)cdot(-b)
Como (-a)cdot 0 = 0, segue
(-a)cdot b + (-a)cdot(-b) = 0,
o que significa que (-a)cdot(-b) é o inverso aditivo de (-a)cdot b. Assim,
(-a)cdot(-b) = -l((-a)cdot br)

Passo 3

Agora mostramos que (-a)cdot b = -(acdot b). Partindo de 0 = a + (-a) e multiplicando por b,
0 = l(a + (-a)r)cdot b = acdot b + (-a)cdot b
Logo,
(-a)cdot b = -l(acdot br)

Passo 4

Substituindo este resultado no de antes,
(-a)cdot(-b) = -l((-a)cdot br) = -l(-l(acdot br)r)
E como para todo xinR vale -(-x)=x, concluímos
(-a)cdot(-b)=acdot b

Resposta

(-a)cdot(-b)=acdot b

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