Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam
quaisquer
(i)
.
(i)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
, vale
Vamos usar os axiomas de corpo dos reais—em especial o elemento neutro aditivo
, o inverso aditivo e a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição.
Passo 2
Observe que
. Multiplicando pelos dois lados por
e usando a distributividade, temos
Como
, segue
o que significa que
é o inverso aditivo de
. Assim,
Passo 3
Agora mostramos que
. Partindo de
e multiplicando por
,
Logo,
Passo 4
Substituindo este resultado no de antes,
E como para todo
vale
, concluímos