Questão 4 [2,0 pontos] Considerando apenas x in[0,2 pi], determine o domínio da função
f(x)=raiz|sec x|-2sen^3(x)-sen(x),
lembrando que sec (x)=1cos (x).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos o domínio de
f(x)=raizlvertsec xrvert - 2sen^3(x) - sen(x)
no intervalo [0,2pi]. Aqui vamos precisar de duas coisas:
1 O argumento da raiz quadrada deve ser não-negativo: lvertsec xrvert - 2 >= 0.
2 O denominador não pode ser zero: sen^3(x) - sen(x) neq 0.

Passo 2

Analisando a raiz:
lvertsec xrvert-2>=0 Long<=ftrightarrow lvertsec xrvert>=2 Long<=ftrightarrow lvertcos xrvert<=12
Em [0,2pi], cos x=1/2 em x=pi/3,5pi/3 e cos x=-1/2 em x=2pi/3,4pi/3. Como lvertcos xrvert<=1/2 ocorre quando
pi/3<= x<=2pi/3 ou 4pi/3<= x<=5pi/3

Passo 3

Analisando o denominador:
sen^3(x)-sen(x)=sen(x)l(sen^2(x)-1r) =sen(x)l(sen x-1r)l(sen x+1r)
Para não anular, precisamos de sen xneq0, sen xneq1 e sen xneq-1. Isso exclui
x=0,;pi,;2pi(sen x=0), x=pi/2(sen x=1), x=3pi/2(sen x=-1)

Passo 4

Agora intersectamos as duas condições dentro de [0,2pi]:
– Do passo 2 temos os intervalos fechados [pi/3,2pi/3] e [4pi/3,5pi/3].
– Do passo 3 removemos x=pi/2 (que está em [pi/3,2pi/3]) e x=3pi/2 (que está em [4pi/3,5pi/3]).

Resposta

O domínio de f em [0,2pi] é
[pi/3,2pi/3]setminuspi/2 ;cup; [4pi/3,5pi/3]setminus3pi/2,
ou, escrito em forma de intervalos abertos/fechados:
[pi/3,pi/2),cup,(pi/2,2pi/3] ;cup; [4pi/3,3pi/2),cup,(3pi/2,5pi/3]

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