Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam a, b, c in R quaisquer
(j) Se a cdot b neq 0 então (a cdot b)^-1=a^-1 cdot b^-1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados quaisquer a,binR com aneq0 e bneq0, vale
(ab)^-1 = a^-1,b^-1
O que usamos: definição de inverso multiplicativo e as propriedades associativa e comutativa da multiplicação em R.

Passo 2

Mostramos que o número a^-1b^-1 satisfaz
(ab)l(a^-1b^-1r)=1
De fato, pela associatividade,
(ab)l(a^-1b^-1r) = al(b,a^-1r)b^-1
Como a multiplicação em R é comutativa, temos b,a^-1=a^-1b. Substituindo,
al(a^-1br)b^-1 =(a,a^-1),(b,b^-1) =1cdot1 =1

Passo 3

Visto que (ab)l(a^-1b^-1r)=1, concluímos que a^-1b^-1 é o inverso de ab. Pelo axioma de unicidade do inverso multiplicativo em um corpo, não há outro elemento com essa propriedade, logo
(ab)^-1 = a^-1b^-1

Resposta

(ab)^-1 = a^-1,b^-1

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