Calcule.
lim x p raiz[q]x-raiz[q]px-p

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto praiz[q]x-raiz[q]px-p
Aqui estamos diante de um quociente da forma da definição de derivada para a função f(x)=x^1/q. Para resolver podemos usar uma racionalização apropriada que transforma a diferença de raízes numa diferença de potências, ou simplesmente lembrar que
ddxx^r=r,x^r-1
Neste caso teremos r=1/q.

Passo 2

Vamos fazer a racionalização algébrica para ver direitinho de onde vem o resultado. Observe o numerador raiz[q]x-raiz[q]p. Multiplicamos e dividimos por
sumk=0^q-1(raiz[q]x)^,q-1-k(raiz[q]p)^,k,
porque existe a identidade
a-b=(a-b)sumk=0^q-1a^,q-1-kb^,k=a^q-b^q

Passo 3

Aplicando essa racionalização temos
raiz[q]x-raiz[q]px-p =l(raiz[q]x-raiz[q]pr)sumk=0^q-1(raiz[q]x)^,q-1-k(raiz[q]p)^,k (x-p)sumk=0^q-1(raiz[q]x)^,q-1-k(raiz[q]p)^,k =x-p(x-p)sumk=0^q-1(raiz[q]x)^,q-1-k(raiz[q]p)^,k
Cancelando x-p no numerador e denominador, fica
1sumk=0^q-1(raiz[q]x)^,q-1-k(raiz[q]p)^,k

Passo 4

Agora basta tomar xto p dentro da soma; em cada termo raiz[q]xtoraiz[q]p. Assim
sumk=0^q-1(raiz[q]p)^,q-1-k(raiz[q]p)^,k =sumk=0^q-1(raiz[q]p)^,q-1 =ql(raiz[q]pr)^,q-1 = q,p^q-1q

Passo 5

Portanto o limite vale
1q,p^tfracq-1q
que, usando a regra da derivada (x^1/q)'=(1/q)x^1/q-1, equivale a
1q,p^1q-1

Resposta

limxto praiz[q]x-raiz[q]px-p =1q,p^q-1q

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