Calcule.
lim x p sin x-sin px-p

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto psin x - sin px - p
Isso é exatamente a diferença quociente da função sin x em x=p. Para resolver, vamos usar a substituição h = x - p e depois aplicar identidades trigonométricas junto com os limites fundamentais limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0.

Passo 2

Com h = x - p temos x = p + h e x to p equivale a h to 0. O limite vira
limhto0sin(p+h) - sin ph

Passo 3

Usamos a identidade de soma de senos:
sin(p+h) - sin p = sin pcos h + cos psin h - sin p = sin p,(cos h - 1) + cos p,sin h
Logo,
sin(p+h) - sin ph = sin p;cos h - 1h ;+;cos p;sin hh

Passo 4

Aplicando os limites conhecidos
limhto0cos h - 1h = 0, limhto0sin hh = 1,
obtemos
limhto0sin(p+h) - sin ph = sin pcdot0 + cos pcdot1 = cos p

Resposta

cos p

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