Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
-y sen x+y^prime cos x=2 sen x

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
-ysin x + y'cos x = 2sin x
O conteúdo aqui é reconhecimento de derivada de um produto e integração direta.

Passo 2

Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de ,ycos x, pois
ddxl(ycos xr) = y'cos x + y,( -sin x) = y'cos x -ysin x
Portanto a equação fica
ddxl(ycos xr)=2sin x

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(ycos xr),dx = integral 2sin x,dx
ycos x = -2cos x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, dividimos por cos x (supondo cos xneq0):
y(x) = -2cos x + Ccos x = -2 + Csec x

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = -2 + Csec x,
com CinR.

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