Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
y^prime=2 x+sec ^2 x2 y, y(0)=-5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO com condição inicial
y' = 2x + sec^2 x2y, y(0)=-5
Isso é um problema de valor inicial e a equação é separável. Vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por 2y,dx:
2y,dy = (2x + sec^2 x),dx

Passo 3

Integre os dois lados. No lado esquerdo,
integral 2y,dy = y^2 + C1
No lado direito, separamos:
integral (2x + sec^2 x),dx = integral 2x,dx + integral sec^2 x,dx = x^2 + tan x + C2
Logo, igualando e reunindo as constantes,
y^2 = x^2 + tan x + C,
onde C = C2 - C1.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=-5. Em x=0 temos
(-5)^2 = 0^2 + tan(0) + C Longrightarrow 25 = 0 + 0 + C Longrightarrow C = 25

Passo 5

Substituindo C=25 na solução implícita,
y^2 = x^2 + tan x + 25
Para encontrar y explicitamente, tomamos raiz quadrada:
y = pmraizx^2 + tan x + 25
Como y(0)=-5 é negativo, escolhemos o sinal “ -”:
y(x) = -raizx^2 + tan x + 25

Resposta

y(x) = -raizx^2 + tan x + 25

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