Calcule
lim x 1 raiz[3]3 x+5-2x^2-1

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
limxto1raiz[3]3x+5-2x^2-1
Isso envolve limite de função algébrica com indeterminação em x=1. Vamos simplificar a expressão interna e depois analisar o comportamento quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Simplificamos o numerador:
3x+5-2 = 3x+3 = 3(x+1)
O denominador é
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Logo a fração interna fica
3(x+1)(x-1)(x+1)

Passo 3

Cancelamos o fator comum (x+1), com cuidado de anotar que isso não vale em x=-1, mas aqui nos interessa xto1. Assim
3(x+1)(x-1)(x+1) = 3x-1
O limite original é
limxto1raiz[3]3x-1

Passo 4

Agora vemos que, quando xto1, o denominador x-1 tende a 0. Dependendo do lado:
  1. Se xto1^+, então x-1>0 e tfrac3x-1to+infty, logo raiz[3]3x-1;to;+infty
  2. Se xto1^-, então x-1<0 e tfrac3x-1to-infty, logo raiz[3]3x-1;to;-infty

Passo 5

Como os limites laterais são distintos (um vai a +infty e o outro a -infty), o limite bilateral não existe no sentido finito.

Resposta

O limite não existe (diverge, com limxto1^-=-infty e limxto1^+=+infty).

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