Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x -2(x^2+x+3)

Passo 1

O enunciado nos pede para provar, usando a definição de limite ( epsilon de<a), que existe
limxto -2l(x^2 + x + 3r)
O conteúdo envolve identificar o valor candidato do limite, calcular a diferença l|f(x)-Lr| e, dado varepsilon>0, encontrar de<a>0 tal que
0<|x+2|<de<aLongrightarrowl|f(x)-Lr|<varepsilon

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=-2, que será nosso candidato L:
L = f(-2) = (-2)^2 + (-2) + 3 = 4 -2 +3 = 5

Passo 3

Analisamos a diferença entre f(x) e L:
|f(x)-5| = l|x^2 + x +3 - 5r| = l|x^2 + x -2r| = l|x-1r|;l|x+2r|

Passo 4

Queremos controlar l|x-1r| em função de l|x+2r|. Se impusermos
|x+2|<1,
então -3<x<-1 e, portanto,
|x-1| = |(x+2)-3|<= |x+2| + 3 < 1 + 3 = 4
Assim, sempre que |x+2|<1 temos
|f(x)-5| = |x-1|;|x+2| < 4,|x+2|

Passo 5

Para garantir |f(x)-5|<varepsilon, basta exigir
4,|x+2| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x+2| < varepsilon4
Logo, escolhendo
de<a = minl1,varepsilon4r,
temos que, sempre que 0<|x+2|<de<a, valem simultaneamente |x+2|<1 e |x+2|<varepsilon/4, o que implica
|f(x)-5| < 4,|x+2| < 4cdotvarepsilon4 = varepsilon

Passo 6

Concluímos, pela definição de limite, que
limxto -2l(x^2 + x + 3r) = 5

Resposta

limxto -2l(x^2 + x + 3r) = 5

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