Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x infty x^2x+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite quando xtoinfty, que
limxtoinftyx^2x+1
existe (no sentido de divergir para +infty). Vamos usar a definição: dizer que
limxtoinftyf(x)=+infty
significa que, para todo M>0, existe N>0 tal que, se x>N, então f(x)>M.

Passo 2

Para aplicar essa definição, precisamos achar um limite inferior simples para f(x)=x^2x+1. Observe que, se x>1, então
x+1 < 2x,
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x^2x+1 > x^22x = x2

Passo 3

Dado um M>0, queremos garantir x^2x+1>M. Bastará então assegurar
x2>M Long<=ftrightarrow x>2M
Além disso, precisamos que valha a condição x>1 usada no passo anterior. Portanto, seja
N = max1,,2M
Então, sempre que x>N, temos x>1 (garantindo a desigualdade intermediária) e x>2M, o que implica
x2>M e, em consequência,
x^2x+1>M.

Passo 4

Como para todo M>0 encontramos um N (dependente de M) tal que x>Nimplies x^2x+1>M, concluímos pela definição que
limxtoinftyx^2x+1=+infty

Resposta

limxtoinftyx^2x+1=+infty.

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