Exemplo 2.19 Dada F=(tg(t^2), ln (t^2+1), tcost ), calcule d Fd t(t) e d Fd t(0).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função vetorial
vec F(t) = l(tan(t^2),;ln(t^2+1),;tcos tr)
e pede para calcular a derivada dvec Fdt(t) e depois avaliá-la em t=0.
Matéria envolvida: derivada de função vetorial, aplicando a regra da cadeia (para tan(t^2) e ln(t^2+1)) e a regra do produto (para tcos t).

Passo 2

Primeiro, lembre que a derivada de uma função vetorial é a “derivada componente a componente”:
dvec Fdt(t) = l(,ddttan(t^2),;ddtln(t^2+1),;ddtl[tcos tr]r)

Passo 3

Derivada de tan(t^2):
  • Regra da cadeia: se u(t)=t^2, então ddttan(u)=sec^2(u),u'.
  • Aqui u'(t)=2t, logo
ddttan(t^2) = sec^2(t^2)cdot2t = 2tcos^2(t^2)

Passo 4

Derivada de ln(t^2+1):
  • Regra da cadeia (derivada do ln): ddtln(v)=v'v.
  • Com v(t)=t^2+1 e v'(t)=2t, vem
ddtln(t^2+1) = 2tt^2+1

Passo 5

Derivada de tcos t:
  • Regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
  • Aqui u(t)=t e v(t)=cos t, então u'=1 e v'=-sin t.
ddt[tcos t] = 1cdotcos t + tcdot(-sin t) = cos t - tsin t

Passo 6

Juntando tudo, a derivada vetorial geral é
dvec Fdt(t) = l(, 2tcos^2(t^2),; 2tt^2+1,; cos t - tsin t r)
Agora basta avaliar em t=0:
  • Para a 1ª componente: 2cdot0cos^2(0)=0.
  • Para a 2ª: 2cdot00^2+1=0.
  • Para a 3ª: cos0 - 0cdotsin0 = 1

Resposta

dvec Fdt(t) = l(2tcos^2(t^2),;2tt^2+1,;cos t - tsin tr), dvec Fdt(0) = (0,,0,,1)

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