EXERCÍCIO 3: Use somas de riemann e Calcule pela definição, a integral de
f(x)=5 x+7 em [1,5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral da função f(x) = 5x + 7 no intervalo [1, 5] usando somas de Riemann. Isso significa que vamos dividir o intervalo em partes menores, calcular uma soma que aproxima a área sob a curva, e então ver o que acontece quando dividimos essas partes cada vez mais finas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo [1, 5] em n subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, que chamamos de De<a x, é dada por:
De<a x = 5 - 1n = 4n
Isso significa que cada pedaço terá uma largura de 4n.

Passo 3

Agora, vamos escolher um ponto em cada subintervalo para avaliar a função f(x). Vamos usar os pontos à direita de cada subintervalo, que são dados por:
xi^* = 1 + i cdot De<a x = 1 + i cdot 4n, para i = 1, 2, dots, n
Aqui, i representa cada subintervalo.

Passo 4

Em seguida, avaliamos a função f(x) nesses pontos:
f(xi^*) = 5xi^* + 7 = 5(1 + i cdot 4n) + 7 = 5 + 20in + 7 = 12 + 20in

Passo 5

A soma de Riemann que aproxima a integral é então:
Sn = sumi=1^n f(xi^*) cdot De<a x = sumi=1^n (12 + 20in) cdot 4n
Vamos simplificar essa expressão:
Sn = sumi=1^n (48n + 80in^2) = 48n cdot n + 80n^2 cdot sumi=1^n i = 48 + 80n^2 cdot n(n+1)2 = 48 + 80(n+1)2n = 48 + 40(n+1)n

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite dessa soma quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = limn to infty (48 + 40(n+1)n) = 48 + 40 cdot limn to infty (1 + 1n) = 48 + 40 cdot 1 = 88

Resposta

A integral de f(x) = 5x + 7 no intervalo [1, 5] é igual a 88.

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