(a) Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0). Analise a diferenciabilidade f em (0,0).
(b) Calcule também partial fpartial x(x, y) para os pontos (x, y) neq(0,0). Use isto e o item (a), para analisar a continuidade de partial fpartial x no ponto (0,0).
e pede em (a) as derivadas parciais em (0,0) e verificar se f é diferenciável ali; em (b) calcular partial fpartial x(x,y) para (x,y)neq(0,0) e discutir se esse parcial é contínuo em (0,0). Usaremos a definição de derivada parcial, o critério de diferenciabilidade via erro de aproximação linear e a regra da cadeia para funções compostas.
O primeiro termo tende a 0, mas o segundo comporta-se como tfracxr^2cos(1/r^2) e, por exemplo, na reta y=0 vale tfrac1xcos(1/x^2), que não tem limite finito quando xto0. Logo partial f/partial x não é contínua em (0,0).
Resposta
(a) partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0. A função é diferenciável em (0,0).
(b) Para (x,y)neq(0,0)