Considere a função dada por:
f(x, y)=cl (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0). Analise a diferenciabilidade f em (0,0).
(b) Calcule também partial fpartial x(x, y) para os pontos (x, y) neq(0,0). Use isto e o item (a), para analisar a continuidade de partial fpartial x no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= (x^2+y^2)senl(tfrac1x^2+y^2r),&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede em (a) as derivadas parciais em (0,0) e verificar se f é diferenciável ali; em (b) calcular partial fpartial x(x,y) para (x,y)neq(0,0) e discutir se esse parcial é contínuo em (0,0). Usaremos a definição de derivada parcial, o critério de diferenciabilidade via erro de aproximação linear e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para partial fpartial x(0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^2senl(tfrac1h^2r)h =limhto0h,senl(tfrac1h^2r)=0
Analogamente,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0k,senl(tfrac1k^2r)=0

Passo 3

Para checar diferenciabilidade em (0,0) comparo f(h,k) com a aproximação linear L(h,k)=0cdot h+0cdot k=0. O erro é
f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2 =(h^2+k^2),senl(tfrac1h^2+k^2r)raizh^2+k^2 =raizh^2+k^2;senl(tfrac1h^2+k^2r)
que tende a 0 quando (h,k)to(0,0). Logo f é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Para (x,y)neq(0,0) defino u=x^2+y^2 e uso regra da cadeia em
f(x,y)=u;senl(tfrac1ur)
Como partial u/partial x=2x e
ddul(usen(1/u)r) =senl(tfrac1ur)+ucosl(tfrac1ur)l(-tfrac1u^2r) =senl(tfrac1ur)-tfrac1ucosl(tfrac1ur),
obtém-se
partial fpartial x(x,y) =2xl[senl(tfrac1ur)-tfrac1ucosl(tfrac1ur)r] =2x,senl(tfrac1x^2+y^2r) -2xx^2+y^2;cosl(tfrac1x^2+y^2r)

Passo 5

Para ver se partial f/partial x é contínua em (0,0) analisamos
2x,senl(tfrac1r^2r) -2xr^2cosl(tfrac1r^2r), r^2=x^2+y^2
O primeiro termo tende a 0, mas o segundo comporta-se como tfracxr^2cos(1/r^2) e, por exemplo, na reta y=0 vale tfrac1xcos(1/x^2), que não tem limite finito quando xto0. Logo partial f/partial x não é contínua em (0,0).

Resposta

(a) partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0. A função é diferenciável em (0,0).
(b) Para (x,y)neq(0,0)
partial fpartial x(x,y) =2x,senl(tfrac1x^2+y^2r) -2xx^2+y^2;cosl(tfrac1x^2+y^2r),
e esse parcial não é contínuo em (0,0).

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