Calcule
lim x 1 raiz[3]x+7-2x-1

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1raiz[3]x+7-2x-1
O conteúdo aqui é limite de função composta: primeiro simplificamos a expressão interna, depois avaliamos o limite do quociente, e por fim usamos a continuidade da raiz cúbica (função ímpar) para obter o resultado.

Passo 2

Simplificando o numerador temos
x+7-2 = x+5
Logo a expressão original fica
raiz[3]x+5x-1

Passo 3

Estudamos o limite do quociente
x+5x-1
Quando xto1, o numerador tende a 6 e o denominador tende a 0. Para xto1^+ o denominador é positivo e pequeno, então
x+5x-1;to;+infty
Para xto1^- o denominador é negativo e pequeno, então
x+5x-1;to;-infty
Portanto o limite do quociente não existe como valor finito, apresentando sinais opostos nos dois lados.

Passo 4

Como a função ymapstoraiz[3]y é contínua em todo R e ímpar, vale
limyto+inftyraiz[3]y=+infty, limyto-inftyraiz[3]y=-infty
Aplicando isso ao nosso caso, obtemos
limxto1^+raiz[3]x+5x-1 = +infty, limxto1^-raiz[3]x+5x-1 = -infty
Como os dois limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe (diverge para +infty pela direita e para -infty pela esquerda).

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