Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite quando
, que a função
tem limite finito. Para isso, vamos aplicar a definição: dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que
sempre que
x>M .
Passo 2
Antes de usar a definição, encontramos o valor candidato de
L por manipulação algébrica informal. Note que
e, quando
xtoinfty ,
tfrac4xto0 . Assim
Passo 3
Agora calculamos a diferença
l|f(x)-Lr| . Para
x>4 temos
2x-8>0 e então
Passo 4
Queremos que
2x-4<varepsilon . Isso equivale a
Passo 5
Dado
varepsilon>0 , escolha
Então, sempre que
x>M , temos
x>4 e portanto
o que satisfaz a definição de limite ao infinito.