Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x infty x2 x-8

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite quando xtoinfty, que a função
f(x)=x2x-8
tem limite finito. Para isso, vamos aplicar a definição: dizer que
limxtoinftyf(x)=L
significa que, para todo varepsilon>0, existe M tal que l|f(x)-Lr|<varepsilon sempre que x>M.

Passo 2

Antes de usar a definição, encontramos o valor candidato de L por manipulação algébrica informal. Note que
x2x-8 =x2xl(1-tfrac4xr) =12l(1-tfrac4xr)
e, quando xtoinfty, tfrac4xto0. Assim
L=limxtoinftyx2x-8=12,

Passo 3

Agora calculamos a diferença l|f(x)-Lr|. Para x>4 temos 2x-8>0 e então
|x2x-8-12| =l|2x-(2x-8)r|2(2x-8) =82(2x-8) =42x-8 =2x-4,

Passo 4

Queremos que 2x-4<varepsilon. Isso equivale a
x-4>2varepsilon Long<=ftrightarrow x>4+2varepsilon,

Passo 5

Dado varepsilon>0, escolha
M = 4 + 2varepsilon,
Então, sempre que x>M, temos x>4 e portanto
l|f(x)-tfrac12r| =2x-4 <2M-4 =varepsilon,
o que satisfaz a definição de limite ao infinito.

Resposta

limxtoinftyx2x-8=12

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