Calcule:
lim x 2(raiz6-x-2raiz3-x-1)

Passo 1

Estamos calculando a seguinte limite de uma expressão que dá indeterminação do tipo 0/0:
limxto2raiz6-x-2raiz3-x-1
O conteúdo aqui é manipulação algébrica com radicais (racionalização) para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Vamos verificar a substituição direta:
raiz6-2-2=2-2=0 e raiz3-2-1=1-1=0.
Como obtemos 0/0, precisamos racionalizar numerador e denominador para simplificar a expressão.

Passo 3

Racionalizamos o numerador raiz6-x-2 multiplicando por seu conjugado raiz6-x+2:
raiz6-x-2 =(raiz6-x-2)(raiz6-x+2)raiz6-x+2 =6-x-4raiz6-x+2 =2-xraiz6-x+2 =-x-2raiz6-x+2

Passo 4

De modo análogo, racionalizamos o denominador raiz3-x-1 com conjugado raiz3-x+1:
raiz3-x-1 =(raiz3-x-1)(raiz3-x+1)raiz3-x+1 =3-x-1raiz3-x+1 =2-xraiz3-x+1 =-x-2raiz3-x+1

Passo 5

Reescrevendo a razão original com essas formas, temos
raiz6-x-2raiz3-x-1 =-tfracx-2raiz6-x+2-tfracx-2raiz3-x+1 =x-2raiz6-x+2cdotraiz3-x+1x-2 =raiz3-x+1raiz6-x+2
Note que o fator (x-2) e o sinal “ -” se cancelam.

Passo 6

Agora basta substituir x=2 na expressão simplificada:
raiz3-2+1raiz6-2+2 =1+12+2 =24 =12

Resposta

tfrac12

Exercícios relacionados