Utilize as propriedades apresentadas para o cálculo de limites e determine:
lim x 1 raiz[3]x-1raiz[4]x-1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 1 raiz[3]x-1raiz[4]x-1
que é do tipo indeterminado tfrac00. Para resolver, vamos usar uma substituição que unifique as raízes e depois fatorar diferenças de potências.

Passo 2

Defina
t = x^1/12
Como xto 1 e a função x^1/12 é contínua, temos tto 1. Além disso,
raiz[3]x = (x)^1/3 = (t^12)^1/3 = t^4,
raiz[4]x = (x)^1/4 = (t^12)^1/4 = t^3
Logo o limite vira
limtto 1 t^4 - 1t^3 - 1

Passo 3

Use a fatoração de diferença de potências:
t^4 - 1 = (t-1)(t^3 + t^2 + t + 1), t^3 - 1 = (t-1)(t^2 + t + 1)

Passo 4

Substituindo na fração e cancelando (t-1), obtemos
t^4 - 1t^3 - 1 = (t-1)(t^3 + t^2 + t + 1)(t-1)(t^2 + t + 1) = t^3 + t^2 + t + 1t^2 + t + 1

Passo 5

Agora basta usar a propriedade de continuidade de polinômios para avaliar em t=1:
limtto 1 t^3 + t^2 + t + 1t^2 + t + 1 = 1^3 + 1^2 + 1 + 11^2 + 1 + 1 = 43

Resposta

tfrac43

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