Calcule
\lim _{x \rightarrow 0}(1+4 x)^{\frac{7}{3 x}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}(1+4x)^{\frac{7}{3x}}
que é um caso clássico de limite do tipo (1+u)^{1/u}\to e. Vamos usar a transformação pelo logaritmo para identificar a forma exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0}(1+4x)^{\frac{7}{3x}}.
Tomando logaritmo natural, obtemos
\ln L = \lim_{x\to0} \frac{7}{3x}\,\ln(1+4x).

Passo 3

Para avaliar
\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+4x)}{x}
usamos a expansão em série ou o limite básico
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Aqui u=4x, logo
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x} =\lim_{x\to0}4\cdot\frac{\ln(1+4x)}{4x} =4\cdot1 =4.
Então
\ln L =\frac{7}{3}\,\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x} =\frac{7}{3}\cdot4 =\frac{28}{3}.

Passo 4

Voltando da forma logarítmica,
L = e^{\ln L} = e^{\frac{28}{3}}.

Resposta

e^{\tfrac{28}{3}}

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