Calcule
\lim _{x \rightarrow 0}(1+7 x)^{\frac{2}{5 x}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}(1+7x)^{\frac{2}{5x}}.
Esse é um limite do tipo “base tendendo a 1 e expoente tendendo a infinito”, que a gente resolve usando logaritmo e a famosa forma \lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e.

Passo 2

Definimos
f(x) = (1+7x)^{\frac{2}{5x}}
e tomamos o logaritmo natural para facilitar:
\ln f(x) = \frac{2}{5x}\,\ln\bigl(1+7x\bigr).

Passo 3

Vamos achar
\lim_{x\to0}\ln f(x) = \lim_{x\to0}\frac{2}{5x}\,\ln\bigl(1+7x\bigr).
Como \ln(1+7x)\sim7x para x\to0, temos
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+7x)}{x} = 7.
Logo
\lim_{x\to0}\ln f(x) = \frac{2}{5}\,\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+7x)}{x} = \frac{2}{5}\times7 = \frac{14}{5}.

Passo 4

Retornando à função original, como \ln f(x)\to\frac{14}{5}, temos
f(x)\to e^{\frac{14}{5}}.

Resposta

\displaystyle e^{\frac{14}{5}}

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