Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{5 x}\right)^{4 x}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to +\infty}\Bigl(1+\frac{1}{5x}\Bigr)^{4x}.
Esse tipo de limite é do tipo exponencial “ (1+\text{pequeno})^{\text{grande}}”. Para lidar com ele, vamos usar a transformação logarítmica e a expansão
\ln(1+t)\approx t\quad\text{quando }t\to 0.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x \to +\infty}\Bigl(1+\frac{1}{5x}\Bigr)^{4x}
e calculamos o logaritmo de L:
\ln L = \lim_{x \to +\infty}4x\;\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{5x}\Bigr).

Passo 3

Como x\to+\infty, temos \tfrac{1}{5x}\to0 e
\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{5x}\Bigr) = \frac{1}{5x} + o\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).
Logo,
\ln L = \lim_{x \to +\infty}4x\!\Bigl(\frac{1}{5x} + o(\tfrac{1}{x})\Bigr) = \lim_{x \to +\infty}\Bigl(\frac{4}{5} + 4x\cdot o(\tfrac{1}{x})\Bigr) = \frac{4}{5}.

Passo 4

Voltando da transformação logarítmica, obtemos
L = e^{\ln L} = e^{4/5}.

Resposta

\displaystyle e^{\tfrac{4}{5}}

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