Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3,5 \cdot x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{3,5\,x}.
Esse tipo de limite é clássico na definição de e, pois sabemos que
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{x}=e.
Para expoentes proporcionais a x, podemos usar a função exponencial e logaritmo para generalizar esse resultado.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{3,5\,x}.
Escrevendo na forma de exponencial, temos
L = \lim_{x\to\infty}\exp\bigl(3,5\,x\ln(1+\tfrac1x)\bigr).
Basta então achar o limite do expoente
\lim_{x\to\infty}3,5\,x\ln(1+\tfrac1x).

Passo 3

Calculemos primeiro
\lim_{x\to\infty}x\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr).
Note que
x\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr) =\frac{\ln(1+\tfrac1x)}{1/x}.
Como \ln(1+u)=u-\tfrac{u^2}{2}+\cdots para u\to0, tomando u=1/x obtemos
x\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr)\to1.
Logo
3,5\,x\ln\bigl(1+\tfrac1x\bigr)\to3,5.

Passo 4

Portanto
L = \exp(3,5) = e^{3,5}.

Resposta

e^{3,5}

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