Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a série é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que fazem parte da matéria de Cálculo. Vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e aplicar um teste adequado para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se converge, então a série original é absolutamente convergente.
Passo 3
Vamos analisar a série dos valores absolutos: sumn=2^infty 1ln n. Precisamos verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é útil para séries de termos positivos e decrescentes.
Passo 4
O Teste da Integral diz que se a função f(n) = 1ln n é contínua, positiva e decrescente para n >= 2, então a série sumn=2^infty 1ln n converge se e somente se a integral integral2^infty 1ln x dx converge.
Passo 5
Vamos calcular a integral integral2^infty 1ln x dx. Fazendo a substituição t = ln x, temos dt = 1x dx, o que não simplifica muito a integral. Sabemos, porém, que 1ln x decresce muito lentamente, não sendo suficiente para que a integral convirja. De fato, essa integral diverge.
Passo 6
Como a integral integral2^infty 1ln x dx diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1ln n também diverge. Isso significa que a série original sumn=2^infty (-1)^nln nnão é absolutamente convergente.
Resposta
A série sumn=2^infty (-1)^nln ndiverge quando consideramos a convergência absoluta.