Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
b) sumn=2^infty (-1)^nln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a série sumn=2^infty (-1)^nln n é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, que fazem parte da matéria de Cálculo. Vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e aplicar um teste adequado para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se sumn=2^infty | (-1)^nln n | converge, então a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Vamos analisar a série dos valores absolutos: sumn=2^infty 1ln n. Precisamos verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é útil para séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 4

O Teste da Integral diz que se a função f(n) = 1ln n é contínua, positiva e decrescente para n >= 2, então a série sumn=2^infty 1ln n converge se e somente se a integral integral2^infty 1ln x dx converge.

Passo 5

Vamos calcular a integral integral2^infty 1ln x dx. Fazendo a substituição t = ln x, temos dt = 1x dx, o que não simplifica muito a integral. Sabemos, porém, que 1ln x decresce muito lentamente, não sendo suficiente para que a integral convirja. De fato, essa integral diverge.

Passo 6

Como a integral integral2^infty 1ln x dx diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1ln n também diverge. Isso significa que a série original sumn=2^infty (-1)^nln n não é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=2^infty (-1)^nln n diverge quando consideramos a convergência absoluta.

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