Se a função de custo em reais, para produzir um determinado produto é dada por C(x)=400+x+0,3 x^2, onde x é o número de unidades. Qual é o valor médio do C(x) entre 10 e 20 unidades?

Passo 1

O enunciado dá a função de custo
C(x) = 400 + x + 0,3,x^2
e pede o valor médio de C(x) no intervalo de x=10 a x=20. O conteúdo aqui é o valor médio de uma função, que se obtém com a fórmula
bar C = 1b-aintegrala^bC(x),dx

Passo 2

Aplicando a fórmula do valor médio para a=10 e b=20, temos
bar C = 120-10integral10^20l(400 + x + 0,3,x^2r),dx

Passo 3

Calculamos uma primitiva de C(x). Chamando
F(x) = integrall(400 + x + 0,3,x^2r),dx,
temos
F(x) = 400x + x^22 + 0,3cdotx^33 = 400x + x^22 + 0,1,x^3

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida:
integral10^20C(x),dx = F(20) - F(10)
Calculando
F(20) = 400cdot20 + 20^22 + 0,1cdot20^3 = 8000 + 200 + 800 = 9000,
F(10) = 400cdot10 + 10^22 + 0,1cdot10^3 = 4000 + 50 + 100 = 4150,
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integral10^20C(x),dx = 9000 - 4150 = 4850

Passo 5

Dividindo pelo comprimento do intervalo (20-10=10), o valor médio é
bar C = 485010 = 485

Resposta

O valor médio do custo entre 10 e 20 unidades é R$ 485,00.

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