Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 \cdot \cos (7 x)}{4 x}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\frac{5\cos(7x)}{4x}.
O conteúdo principal é análise de limites onde o numerador tende a uma constante não nula e o denominador tende a zero. Para resolver, vamos avaliar o valor do numerador e o comportamento do denominador e, em seguida, os limites laterais.

Passo 2

Observe que, quando x\to 0, temos
\cos(7x)\to \cos(0)=1,
logo o numerador tende a
5\cos(7x)\;\longrightarrow\;5\cdot 1 = 5,
enquanto o denominador 4x tende a 0. Assim a forma do quociente é de uma constante não nula sobre algo que vai a zero, o que sugere divergência para infinito.

Passo 3

Para caracterizar essa divergência, avaliamos os limites laterais:
— Se x\to 0^+, então 4x\to 0^+ e
\frac{5\cos(7x)}{4x}\;\approx\;\frac{5}{\text{número positivo muito pequeno}}\;\longrightarrow\;+\infty.ú
— Se x\to 0^-, então 4x\to 0^- e
\frac{5\cos(7x)}{4x}\;\approx\;\frac{5}{\text{número negativo muito pequeno}}\;\longrightarrow\;-\,\infty.ú

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem ( +\infty e -\infty), o limite bilateral
\lim_{x\to 0}\frac{5\cos(7x)}{4x}
não existe como um número real finito nem mesmo como um infinito bem-definido.

Resposta

O limite não existe (diverge, com sinais opostos nas aproximações pela direita e pela esquerda).

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