Calcule
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x-4}{|2-x|}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 2} \frac{3x - 4}{\lvert 2 - x\rvert}
O conteúdo envolvido é o tratamento de valor absoluto em limites, que exige analisar os limites laterais usando a definição
\lvert 2 - x\rvert = \begin{cases} 2 - x, & x < 2,\\\ x - 2, & x > 2. \end{cases}

Passo 2

Analisamos o limite pela esquerda ( x \to 2^-). Nesse caso \lvert 2 - x\rvert = 2 - x. Logo consideramos
\lim_{x \to 2^-} \frac{3x - 4}{2 - x}.
Quando x \to 2, o numerador tende a
3\cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2,
enquanto o denominador 2 - x tende a 0^+. Assim
\frac{3x - 4}{2 - x} \to \frac{2}{0^+} = +\infty.

Passo 3

Agora o limite pela direita ( x \to 2^+). Aqui \lvert 2 - x\rvert = x - 2. Então avaliamos
\lim_{x \to 2^+} \frac{3x - 4}{x - 2}.
Novamente o numerador tende a 2 e o denominador x - 2 tende a 0^+. Logo
\frac{3x - 4}{x - 2} \to \frac{2}{0^+} = +\infty.

Passo 4

Como os limites laterais coincidem e ambos são +\infty, concluímos que
\lim_{x \to 2} \frac{3x - 4}{\lvert 2 - x\rvert} = +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados