Calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{3 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{2^{3x}-1}{x}.
O conteúdo aqui é limite de função envolvendo potência com base fixa e expoente variável. Para resolver, podemos usar a definição via exponencial natural ou aplicar a regra de L’Hôpital, já que ao substituir x=0 temos forma \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos 2^{3x} em termos de exponencial natural:
2^{3x} = e^{3x\ln2}.
Assim o limite fica
\lim_{x\to0}\frac{e^{3x\ln2}-1}{x}.

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor para e^u em torno de u=0:
e^{u} = 1 + u + o(u)\quad(u\to0).
Aqui u = 3x\ln2, logo
e^{3x\ln2} - 1 = 3x\ln2 + o(x).
Substituindo no quociente:
\frac{e^{3x\ln2}-1}{x} = \frac{3x\ln2 + o(x)}{x} = 3\ln2 + \frac{o(x)}{x}.
Como \tfrac{o(x)}{x}\to0 quando x\to0, o limite é 3\ln2.

Resposta

3\ln2

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