Encontre os máximos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível:
y=\cos (2 x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos locais da função y=\cos(2x), aplicando o teste da segunda derivada quando possível.\n
Informações dadas explicitamente:
  • A função é y=\cos(2x).
  • Não há restrição de domínio no enunciado, portanto considerar x\in\mathbb{R}.
    \n
    O que precisa ser entregue:
  • Localizações (valores de x) dos pontos críticos onde há máximos locais e mínimos locais.
  • Os valores de y nesses pontos (ou seja, os valores máximos e mínimos locais).
  • Usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico quando for aplicável.

Passo 2

Entendendo o método (rapidinho e claro): para achar máximos/minimos locais usando derivadas, o procedimento padrão é:
  1. Calcular a primeira derivada y'.
  2. Encontrar os pontos críticos resolvendo y'=0 (e também checar onde y' não existe — aqui não ocorre porque a função é suave).
  3. Calcular a segunda derivada y''.
  4. Aplicar o teste da segunda derivada: se y''(x_0)>0 então há mínimo local em x_0; se y''(x_0)<0 então há máximo local em x_0; se y''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.
Agora vamos executar esses passos na função dada.

Passo 3

Calcular a primeira derivada. Usar a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Tomando u=2x tem-se u'=2. Portanto
y' = \frac{d}{dx}\cos(2x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo y'=0. Então:
-2\sin(2x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(2x)=0.
Saber quando o seno é zero: \sin(t)=0 exatamente quando t=k\pi para algum inteiro k. Aplicando aqui com t=2x obtém-se
2x = k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto todos os pontos críticos são x_k=\dfrac{k\pi}{2} para k inteiro. Não há pontos onde y' não existe, pois y' é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Calcular a segunda derivada para aplicar o teste. Derivando y'=-2\sin(2x) novamente (novamente regra da cadeia):
y'' = \frac{d}{dx}(-2\sin(2x)) = -2\cos(2x)\cdot 2 = -4\cos(2x).
O teste da segunda derivada diz: avaliar y'' em cada x_k e verificar sinal.

Passo 6

Avaliar y'' nos pontos críticos x_k=\dfrac{k\pi}{2}. Substituindo:
y''\!\left(\frac{k\pi}{2}\right) = -4\cos\!\left(2\cdot\frac{k\pi}{2}\right) = -4\cos(k\pi).
Mas \cos(k\pi)=(-1)^k. Logo
y''\!\left(\frac{k\pi}{2}\right) = -4(-1)^k.
Agora deduzir a classificação:
  • Se k é par, então (-1)^k=1 e y''=-4<0. Pelo teste, há um máximo local em x=\dfrac{k\pi}{2} quando k é par.
  • Se k é ímpar, então (-1)^k=-1 e y''=4>0. Pelo teste, há um mínimo local em x=\dfrac{k\pi}{2} quando k é ímpar.

Passo 7

Traduzir as condições em formas mais familiares (escrever as famílias de pontos):
  • k par significa k=2m com m\in\mathbb{Z}. Então os máximos locais ocorrem em
x = \frac{2m\pi}{2}=m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos, o valor da função é
y=\cos(2x)=\cos(2m\pi)=1.
  • k ímpar significa k=2m+1. Então os mínimos locais ocorrem em
x = \frac{(2m+1)\pi}{2} = \frac{\pi}{2}+m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos, o valor da função é
y=\cos(2x)=\cos\big(\pi+2m\pi\big)=-1.
Observação final: em todos os pontos críticos o segundo derivada é diferente de zero, logo o teste da segunda derivada foi sempre conclusivo.

Resposta

Máximos locais: x = m\pi,\\ m\in\mathbb{Z}; valor y=1.
Mínimos locais: x = \dfrac{\pi}{2}+m\pi,\\ m\in\mathbb{Z}; valor y=-1.

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