Encontre os máximos e mínimos locais aplicando o teste da segunda derivada quando possível:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos locais da função
, aplicando o teste da segunda derivada quando possível.\n
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- A função é
. - Não há restrição de domínio no enunciado, portanto considerar
.
\n
O que precisa ser entregue: - Localizações (valores de
) dos pontos críticos onde há máximos locais e mínimos locais. - Os valores de
nesses pontos (ou seja, os valores máximos e mínimos locais). - Usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico quando for aplicável.
Passo 2
Entendendo o método (rapidinho e claro): para achar máximos/minimos locais usando derivadas, o procedimento padrão é:
- Calcular a primeira derivada
. - Encontrar os pontos críticos resolvendo
(e também checar onde não existe — aqui não ocorre porque a função é suave). - Calcular a segunda derivada
. - Aplicar o teste da segunda derivada: se
então há mínimo local em ; se então há máximo local em ; se o teste é inconclusivo.
Agora vamos executar esses passos na função dada.
Passo 3
Calcular a primeira derivada. Usar a regra da cadeia: a derivada de
é
. Tomando
tem-se
. Portanto
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo
. Então:
Saber quando o seno é zero:
exatamente quando
para algum inteiro
. Aplicando aqui com
obtém-se
Portanto todos os pontos críticos são
para
inteiro. Não há pontos onde
não existe, pois
é contínua em todo
.
Passo 5
Calcular a segunda derivada para aplicar o teste. Derivando
novamente (novamente regra da cadeia):
O teste da segunda derivada diz: avaliar
em cada
e verificar sinal.
Passo 6
Avaliar
nos pontos críticos
. Substituindo:
Mas
. Logo
Agora deduzir a classificação:
- Se
é par, então e . Pelo teste, há um máximo local em quando é par. - Se
é ímpar, então e . Pelo teste, há um mínimo local em quando é ímpar.
Passo 7
Traduzir as condições em formas mais familiares (escrever as famílias de pontos):
-
par significa com . Então os máximos locais ocorrem em
Nesses pontos, o valor da função é
-
ímpar significa . Então os mínimos locais ocorrem em
Nesses pontos, o valor da função é
Observação final: em todos os pontos críticos o segundo derivada é diferente de zero, logo o teste da segunda derivada foi sempre conclusivo.
Resposta
Máximos locais:
; valor
.
Mínimos locais: ; valor
.
Mínimos locais: