Calcule
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x^{2}-1}.
Isso é um limite que apresenta a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, pois ao substituir x=1 temos \sqrt{2}-\sqrt{2}=0 e 1^2-1=0. Vamos usar a técnica de racionalização do numerador para resolver.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do numerador, isto é, \sqrt{x+1}+\sqrt{2}, obtendo
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x^{2}-1} \;\cdot\; \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}{(x^{2}-1)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\bigr)}.

Passo 3

No numerador fica
(\sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=(x+1)-2=x-1,
e no denominador usamos
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Logo a fração torna-se
\frac{x-1}{(x-1)(x+1)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\bigr)} =\frac{1}{(x+1)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\bigr)},
desde que x\neq1, o que é adequado para o limite.

Passo 4

Agora fazemos x\to1 na expressão simplificada:
\frac{1}{(x+1)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{2}\bigr)} \;\xrightarrow[x\to1]{}\; \frac{1}{(1+1)\bigl(\sqrt{1+1}+\sqrt{2}\bigr)} =\frac{1}{2\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{2}\bigr)}.

Passo 5

Como \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}, obtemos
\frac{1}{2\cdot2\sqrt{2}} =\frac{1}{4\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{8}.

Resposta

\frac{1}{4\sqrt{2}} \quad\bigl(\text{ou}\;\tfrac{\sqrt{2}}{8}\bigr)

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