Os planos \pi 1: x+y+4 z-2=0 e \pi 2: x+2 y+z-4=0 se interceptam. Obtenha a equação vetorial da reta r que passa pela interseção dos mesmos.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
\pi_1: x+y+4z-2=0
\pi_2: x+2y+z-4=0
e pede a reta de interseção. O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3: a interseção de dois planos é uma reta. Para obter a equação vetorial dessa reta, precisamos de
  1. um vetor diretor, que é o produto vetorial dos vetores normais dos planos,
  2. um ponto comum aos dois planos, encontrado resolvendo o sistema.

Passo 2

Os vetores normais são
n_1 = (1,1,4), \quad n_2 = (1,2,1).
O vetor diretor v da reta é
v = n_1 \times n_2 = (1,1,4)\times(1,2,1).
Calculando o produto vetorial:
v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot1 - 4\cdot2) - \mathbf{j}(1\cdot1 - 4\cdot1) + \mathbf{k}(1\cdot2 - 1\cdot1) = (-7,\,3,\,1).

Passo 3

Para achar um ponto em comum, fixamos z=0\) e resolvemos \[\begin{cases} x + y = 2,\\\ x + 2y = 4. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda, vem y=2\]. Então \(x = 2 - y = 0.
Logo, um ponto da reta é P(0,2,0).

Passo 4

Com o ponto P(0,2,0) e o vetor diretor v = (-7,3,1), a equação vetorial da reta é
r:\;(x,y,z) = (0,2,0) + t\,(-7,3,1),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

r:\;(x,y,z) = (0,2,0) + t\,(-7,3,1),\quad t\in\mathbb{R}.

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