Calcule
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}+8}{x^{2}-4}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to -2} \frac{x^3+8}{x^2-4}.
Isso é um limite de uma função racional que, ao substituir x=-2, dá uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, notamos que
x^3 + 8
é uma soma de cubos, pois 8 = 2^3. Usamos a fórmula
a^3 + b^3 = (a+b)\,(a^2 - a b + b^2)
com a = x e b = 2. Logo,
x^3 + 8 = (x+2)\,(x^2 - 2x + 4).
Também fatoramos o denominador como diferença de quadrados:
x^2 - 4 = (x-2)\,(x+2).

Passo 3

Substituindo as fatorações na expressão do limite, temos
\frac{x^3+8}{x^2-4} = \frac{(x+2)\,(x^2 - 2x + 4)}{(x-2)\,(x+2)}.
Como x\neq -2 na vizinhança de -2, podemos cancelar o fator (x+2), ficando
\frac{x^2 - 2x + 4}{x-2}.
Agora basta avaliar em x = -2:
numerador: (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12,
denominador: -2 - 2 = -4.
Portanto o limite é
\frac{12}{-4} = -3.

Resposta

-3

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