Encontre a equação vetorial e as equações paraméricas do plano \pi em cada caso.
Passa pelos pontos não colineares A=(2,2,1), B=(2,2,-1) e C=(2,-2,0).
Passo 1
O enunciado pede a equação vetorial e as equações paramétricas do plano \pi que passa pelos pontos não colineares A=(2,2,1), B=(2,2,-1) e C=(2,-2,0). O conteúdo aqui é a representação paramétrica de um plano em \mathbb{R}^3: basta tomar um ponto base (por exemplo A) e dois vetores diretores obtidos pelas diferenças \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Passo 2
Calculemos os vetores diretores:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-2,\;2-2,\;-1-1) = (0,0,-2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-2,\;-2-2,\;0-1) = (0,-4,-1).
Logo a equação vetorial do plano é
\mathbf{r} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}0\\\ -4\\\ -1\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.
Passo 3
Para extrair as equações paramétricas, igualamos componentes:
\begin{cases} x = 2 + 0\cdot s + 0\cdot t = 2,\\\ y = 2 + 0\cdot s + (-4)\,t = 2 - 4t,\\\ z = 1 + (-2)\,s + (-1)\,t = 1 - 2s - t. \end{cases}
Resposta
Equação vetorial:
\mathbf{r} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}0\\\ -4\\\ -1\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.
Equações paramétricas:
x = 2,\quad y = 2 - 4t,\quad z = 1 - 2s - t, \quad s,t\in\mathbb{R}.