Calcule:
\lim _{x \rightarrow 7^{+}} \frac{5 x^{3}-1}{7-x}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x \to 7^{+}} \frac{5x^{3}-1}{7-x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função no numerador é o polinômio 5x^{3}-1.
  • O denominador é 7-x.
  • A aproximação é por valores de x vindos da direita de 7, ou seja x>7 e x\to7.

Passo 2

Avaliar o comportamento do numerador quando x\to7. Como polinômios são funções contínuas, o limite do numerador é simplesmente o valor no ponto:
5\cdot 7^{3}-1.
Calcule passo a passo:
7^{3}=343,
5\cdot 343=1715,
5\cdot 7^{3}-1=1715-1=1714.
Logo o numerador tende para \,1714, que é um número positivo e finito.

Passo 3

Analisar o comportamento do denominador quando x\to7^{+}. Para x>7 temos:
7-x<0,
e quando x se aproxima de 7 pela direita, 7-x tende a 0 por valores negativos; ou seja,
7-x \to 0^{-}.
Portanto o denominador aproxima-se de zero com sinal negativo.

Passo 4

Interpretar a fração combinando resultados: numerador tende a um número positivo finito ( 1714) e denominador tende a 0^{-}. Intuitivamente, dividir um número positivo fixo por um número que vai para zero negativo produz um valor com magnitude crescente e sinal negativo, isto é, tende para -\infty. Para uma demonstração algébrica mais explícita, faça a substituição
h=x-7,
então h\to0^{+} quando x\to7^{+}. Reescrevendo a expressão:
\frac{5x^{3}-1}{7-x}=\frac{5(7+h)^{3}-1}{7-(7+h)}=\frac{5(7+h)^{3}-1}{-h}.
Expandindo o cubo (paso a paso):
(7+h)^{3}=7^{3}+3\cdot7^{2}h+3\cdot7 h^{2}+h^{3}=343+147h+21h^{2}+h^{3},
5(7+h)^{3}-1=5\cdot343+5\cdot147h+5\cdot21h^{2}+5h^{3}-1 =1715+735h+105h^{2}+5h^{3}-1,
5(7+h)^{3}-1=1714+735h+105h^{2}+5h^{3}.
Dividindo por -h:
\frac{5(7+h)^{3}-1}{-h}=-\frac{1714}{h}-735-105h-5h^{2}.
Quando h\to0^{+} o termo -\dfrac{1714}{h} domina e tende para -\infty, enquanto os outros termos ficam limitados. Portanto a expressão inteira tende para -\infty.

Passo 5

Interpretação final e incentivo: a função cresce em magnitude negativamente quando x se aproxima de 7 pela direita, por causa do denominador que vai para zero com sinal negativo enquanto o numerador fica próximo de 1714>0. Logo o limite diverge para -\infty. Vai dar tudo certo na prova — lembre que identificar o sinal que o denominador toma ao aproximar do ponto é a chave em casos assim!

Resposta

-\infty

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