Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \frac{6-x}{x^{2}+4}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, exatamente como está (sem resolver ainda). Peguei estes símbolos do enunciado:
  • Pede-se o valor do limite \lim_{x\to -2^{-}} \frac{6-x}{x^{2}+4}.
  • A expressão que aparece é a função racional \frac{6-x}{x^{2}+4}, com numerador 6-x e denominador x^{2}+4.

Passo 2

O que significa \lim_{x\to -2^{-}} \frac{6-x}{x^{2}+4}?
  • O índice -2^{-} indica um limite unilaterial pela esquerda: estamos considerando valores de \,x< -2 que se aproximam de -2.
  • Intuitivamente: escolhemos números como -2{,}1, -2{,}01, -2{,}001 e vimos o que a expressão \frac{6-x}{x^{2}+4} tende a assumir quando esses x vão ficando cada vez mais próximos de -2.

Passo 3

Verificação de existência de problemas (divisão por zero, indeterminação, etc.):
  • O denominador é \;x^{2}+4.; Note que \;x^{2}\ge 0 para todo x, portanto \;x^{2}+4\ge 4>0 para todo x.
  • Conclusão: o denominador nunca é zero, portanto a função \frac{6-x}{x^{2}+4} está bem definida em -2 e em qualquer ponto próximo. Não há indeterminação do tipo \frac{0}{0} nem divisão por zero.
  • Quando uma função racional tem denominador não nulo num ponto, ela é contínua naquele ponto. Para funções contínuas, o limite unilaterial e o limite bilateral coincidem com o valor da função no ponto.

Passo 4

Aplicar a substituição direta (justificativa: função contínua no ponto porque denominador \neq 0):
  • Calcular o numerador em x=-2:
6-(-2)=6+2=8.
  • Calcular o denominador em x=-2:
(-2)^{2}+4=4+4=8.

Passo 5

Dividir os resultados obtidos:
\frac{6-(-2)}{(-2)^{2}+4}=\frac{8}{8}=1.

Resposta

\;1

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