Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2 x+1}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x se aproxima de 3:
\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x+1}{x-3}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}.
  • O ponto de interesse é x=3.
    A pergunta é: qual é o valor (se existir) do limite de f(x) quando x se aproxima de 3?

Passo 2

Avaliar o comportamento das partes da função ao aproximar x de 3.
  • O numerador tende a
2\cdot 3 + 1 = 7,
ou seja, \;2x+1 \to 7 quando x \to 3.
  • O denominador tende a
x-3 \to 0
quando x \to 3.
Portanto temos a situação clássico: numerador tende a um número finito não nulo ( 7) e denominador tende a 0. Isso indica que a razão tende a “explodir” em magnitude (módulo muito grande), ou seja, o limite pode ser +\infty, -\infty ou não existir, dependendo do sinal do denominador ao aproximar 3.

Passo 3

Explicar por que é preciso estudar limites laterais (uma “aula rápida”):
  • Quando o denominador tende a zero, o sinal da fração é determinado pelo sinal do numerador e do denominador próximos do ponto.
  • Como o numerador tende a 7>0, o sinal da fração vai ser o mesmo do sinal de x-3.
  • Se x se aproxima de 3 pela direita ( x\to3^+), então x-3>0 (positivo pequeno) e a fração tende para +\infty.
  • Se x se aproxima de 3 pela esquerda ( x\to3^-), então x-3<0 (negativo pequeno) e a fração tende para -\infty.
    É por isso que precisamos calcular os limites laterais separadamente.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita ( x\to3^+):
Para x>3 bem próximo de 3 temos x-3>0 pequeno e 2x+1 próximo de 7>0. Logo a razão é um número positivo com denomindor muito pequeno, portanto seu valor cresce sem limite:
\lim_{x\to 3^+} \frac{2x+1}{x-3} = +\infty.
Interpretação simples: dividir um número positivo não-nulo por algo que vai para 0^+ gera um crescimento ilimitado positivo.

Passo 5

Cálculo do limite pela esquerda ( x\to3^-):
Para x<3 bem próximo de 3 temos x-3<0 pequeno em valor absoluto e 2x+1 ainda próximo de 7>0. Assim a fração é negativa e seu módulo cresce sem limite, portanto:
\lim_{x\to 3^-} \frac{2x+1}{x-3} = -\infty.
Interpretação: dividir o mesmo número positivo por algo que vai para 0^- dá uma diverência para -\infty.

Passo 6

Conclusão sobre o limite bilateral:
  • Como os limites laterais não coincidem ( +\infty à direita e -\infty à esquerda), o limite bilateral
\lim_{x\to 3} \frac{2x+1}{x-3}
não existe no sentido de número real. Podemos dizer que a função tem uma assíntota vertical em x=3 e que os limites laterais divergem em sinais opostos.

Resposta

O limite não existe; \lim_{x\to3^-}\dfrac{2x+1}{x-3}=-\infty e \lim_{x\to3^+}\dfrac{2x+1}{x-3}=+\infty.

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