Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: qual é o valor (se existir) do limite dequando se aproxima de ?
Passo 2
Avaliar o comportamento das partes da função ao aproximar
de
.
- O numerador tende a
ou seja,
quando
.
- O denominador tende a
quando
.
Portanto temos a situação clássico: numerador tende a um número finito não nulo ( ) e denominador tende a
. Isso indica que a razão tende a “explodir” em magnitude (módulo muito grande), ou seja, o limite pode ser
,
ou não existir, dependendo do sinal do denominador ao aproximar
.
Portanto temos a situação clássico: numerador tende a um número finito não nulo (
Passo 3
Explicar por que é preciso estudar limites laterais (uma “aula rápida”):
- Quando o denominador tende a zero, o sinal da fração é determinado pelo sinal do numerador e do denominador próximos do ponto.
- Como o numerador tende a
, o sinal da fração vai ser o mesmo do sinal de . - Se
se aproxima de pela direita ( ), então (positivo pequeno) e a fração tende para . - Se
se aproxima de pela esquerda ( ), então (negativo pequeno) e a fração tende para .
É por isso que precisamos calcular os limites laterais separadamente.
Passo 4
Cálculo do limite pela direita (
):
Para bem próximo de
temos
pequeno e
próximo de
. Logo a razão é um número positivo com denomindor muito pequeno, portanto seu valor cresce sem limite:
Para
Interpretação simples: dividir um número positivo não-nulo por algo que vai para
gera um crescimento ilimitado positivo.
Passo 5
Cálculo do limite pela esquerda (
):
Para bem próximo de
temos
pequeno em valor absoluto e
ainda próximo de
. Assim a fração é negativa e seu módulo cresce sem limite, portanto:
Para
Interpretação: dividir o mesmo número positivo por algo que vai para
dá uma diverência para
.
Passo 6
Conclusão sobre o limite bilateral:
- Como os limites laterais não coincidem (
à direita e à esquerda), o limite bilateral
não existe no sentido de número real. Podemos dizer que a função tem uma assíntota vertical em
e que os limites laterais divergem em sinais opostos.
Resposta
O limite não existe;
e
.