Calcule
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{2 x-8}{3 x-6}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 2}\frac{2x - 8}{3x - 6}.
O conteúdo aqui é análise de limite que resulta em forma infinita, então vamos precisar estudar a forma obtida por substituição direta e analisar sinais para ver o comportamento em cada lado de x=2.

Passo 2

Tentamos a substituição direta x=2:
2x - 8 = 2\cdot2 - 8 = -4,\quad 3x - 6 = 3\cdot2 - 6 = 0,
logo
\frac{2x - 8}{3x - 6}\Big|_{x=2} = \frac{-4}{0},
que é uma forma do tipo \tfrac{\text{não zero}}{0}ã. Isso sugere um limite infinito ou não existente, dependendo do sinal.

Passo 3

Observemos o sinal do numerador perto de x=2:
2x - 8 = 2(x - 4),
e em x\approx2, 2x - 8 \approx -4, ou seja, sempre negativo nos dois lados de 2.

Passo 4

Agora o sinal do denominador perto de x=2:
3x - 6 = 3(x - 2).
  • Se x > 2, então x-2>0 e 3(x-2)>0.
  • Se x < 2, então x-2<0 e 3(x-2)<0.

Passo 5

Combinando sinais:
  • Quando x \to 2^+, numerador é negativo e denominador é positivo, logo
\frac{2x - 8}{3x - 6}\to -\infty.
  • Quando x \to 2^-, numerador é negativo e denominador é negativo, logo
\frac{2x - 8}{3x - 6}\to +\infty.

Resposta

O limite não existe como número finito, pois
\lim_{x\to2^-}\frac{2x - 8}{3x - 6} = +\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^+}\frac{2x - 8}{3x - 6} = -\infty.

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