Calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+1}{x^{2}+2}

Passo 1

O problema pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x^{2}+2}.
Informações dadas:
  • A variável é x.
  • O ponto onde a variável se aproxima é +\infty.
  • A expressão é a razão \dfrac{x+1}{x^{2}+2}.

Passo 2

Estratégia que vou usar: dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui é x^{2}). Essa técnica é padrão para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty porque deixa explícito o comportamento das parcelas que tendem a zero. Agora faço a divisão:
\frac{x+1}{x^{2}+2} = \frac{\dfrac{x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}}.

Passo 3

Entendendo o comportamento das partes que aparecem: para x\to+\infty sabemos que as recíprocas vão a zero. Mais precisamente,
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. Intuição: quando x fica muito grande, 1/x fica muito pequeno.
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0. Ainda mais rápido: 1/x^{2} tende a zero mais rápido que 1/x.
Portanto as duas parcelas do numerador tendem a zero, e a parcela \dfrac{2}{x^{2}} do denominador também tende a zero.

Passo 4

Agora aplico regras de limite (limite da soma, produto e quociente quando o limite do denominador é diferente de zero). Tomando limite na expressão obtida:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}+\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}1+\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{2}}} = \frac{0+0}{1+0}=0.
Note que o denominador tende a 1, que é diferente de zero, então a operação de dividir pelos limites é válida.

Passo 5

Uma observação alternativa (mais intuitiva e útil em provas rápidas): comparar ordens de grandeza. O numerador cresce como x (grau 1) e o denominador cresce como x^{2} (grau 2). Como x^{2} cresce muito mais rápido que x, a fração deve ir para zero. Formalizando por desigualdade para x\ge 1:
0<\frac{x+1}{x^{2}+2}\le\frac{x+x}{x^{2}}=\frac{2}{x},
e como \lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x}=0, pela comparação (squeeze) temos que o limite original é 0.

Resposta

0

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