Calcule:
Passo 1
O problema pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A variável é
. - O ponto onde a variável se aproxima é
. - A expressão é a razão
.
Passo 2
Estratégia que vou usar: dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui é
). Essa técnica é padrão para limites de funções racionais quando
porque deixa explícito o comportamento das parcelas que tendem a zero. Agora faço a divisão:
Passo 3
Entendendo o comportamento das partes que aparecem: para
sabemos que as recíprocas vão a zero. Mais precisamente,
-
. Intuição: quando fica muito grande, fica muito pequeno. -
. Ainda mais rápido: tende a zero mais rápido que .
Portanto as duas parcelas do numerador tendem a zero, e a parcela
do denominador também tende a zero.
Passo 4
Agora aplico regras de limite (limite da soma, produto e quociente quando o limite do denominador é diferente de zero). Tomando limite na expressão obtida:
Note que o denominador tende a
, que é diferente de zero, então a operação de dividir pelos limites é válida.
Passo 5
Uma observação alternativa (mais intuitiva e útil em provas rápidas): comparar ordens de grandeza. O numerador cresce como
(grau
) e o denominador cresce como
(grau
). Como
cresce muito mais rápido que
, a fração deve ir para zero. Formalizando por desigualdade para
:
e como
, pela comparação (squeeze) temos que o limite original é
.