Calcule
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}-7 x+5}{2 x^{2}-2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}-7x+5}{2x^{2}-2}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de quociente de polinômios que apresenta forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, usaremos fatoração e simplificação de fatores comuns.

Passo 2

Aplicamos a substituição direta x=1 para verificar a indeterminação:
o numerador fica
2\cdot1^{2}-7\cdot1+5 = 2 - 7 + 5 = 0,
e o denominador fica
2\cdot1^{2}-2 = 2 - 2 = 0.
Como obtemos \tfrac{0}{0}, precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
2x^{2}-7x+5 = (2x-5)(x-1),
2x^{2}-2 = 2(x^{2}-1) = 2(x-1)(x+1).

Passo 4

Simplificamos o fator comum (x-1) (válido para x\neq1):
\frac{2x^{2}-7x+5}{2x^{2}-2} = \frac{(2x-5)\cancel{(x-1)}}{2\cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{2x-5}{2(x+1)}.

Passo 5

Agora o limite é direto, bastando substituir x=1 em \frac{2x-5}{2(x+1)}:
\frac{2\cdot1-5}{2(1+1)} = \frac{-3}{4}.

Resposta

-\displaystyle\frac{3}{4}

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