Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y) se aproxima de (0,0). O conteúdo aqui é cálculo de limites em várias variáveis e usamos o teste de dependência de caminho: se obtivermos valores diferentes ao aproximar por retas distintas, o limite não existe.

Passo 2

Aproximando pela reta y=0. Substituindo em f, temos \displaystyle f(x,0)=\frac{x^{2}-0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Logo \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=0}f(x,y)=1.

Passo 3

Aproximando pela reta x=0. Substituindo em f, obtemos \displaystyle f(0,y)=\frac{0^{2}-y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1.
Logo \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0),\,x=0}f(x,y)=-1.

Passo 4

Como as duas aproximações deram limites diferentes (um vale 1 e o outro vale -1), concluímos que o limite de f(x,y) em (0,0) não é único.

Resposta

O limite não existe.

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