Determine e faça o esboço do domínio das funções:
f(x, y)=\frac{\sqrt{y-x^{2}}}{3-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{\sqrt{y-x^{2}}}{3-x^{2}}.
O conteúdo é análise de domínio em funções de duas variáveis, envolvendo condição de existência de raiz quadrada e de não anular o denominador.

Passo 2

Para que a raiz quadrada exista em \mathbb{R}, o radicando deve ser não-negativo:
y - x^{2} \ge 0
que equivale a
y \ge x^{2}.

Passo 3

Para evitar divisão por zero, o denominador deve ser diferente de zero:
3 - x^{2} \neq 0
isto é
x^{2} \neq 3
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x \neq \pm \sqrt{3}.

Passo 4

Combinando as duas condições, o domínio D é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y \ge x^{2}\text{ e }x \neq \pm \sqrt{3}\bigr\}.

Passo 5

Esboço do domínio:
  • Desenhe a parábola y=x^{2} e sombreie toda a região acima dela (incluindo a própria curva).
  • Sobre as retas verticais x=\sqrt{3} e x=-\sqrt{3}, risque (ou trace em tracejado) essas linhas, pois esses valores de x estão excluídos.

Resposta

D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y \ge x^{2}\text{ e }x \neq \pm \sqrt{3}\bigr\}.

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