Determine e faça o esboço do domínio das funções:
f(x, y)=\ln \left(9-x^{3}-9 y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\ln\bigl(9 - x^{3} - 9y^{2}\bigr)
e pede o domínio, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) em que o argumento do \ln é estritamente positivo.

Passo 2

Impondo a condição
9 - x^{3} - 9y^{2} > 0
podemos reescrever como
x^{3} + 9y^{2} < 9.

Passo 3

Isolando y^{2}, obtemos
9y^{2} < 9 - x^{3} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} < \frac{9 - x^{3}}{9}.
Para que \frac{9 - x^{3}}{9} seja positivo, precisamos de
9 - x^{3} > 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3} < 9 \quad\Longrightarrow\quad x < \sqrt[3]{9}.

Passo 4

Logo, o domínio é
D = \Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\;\Bigm|\;x < \sqrt[3]{9}\quad\text{e}\quad -\sqrt{\tfrac{9 - x^{3}}{9}} < y < \sqrt{\tfrac{9 - x^{3}}{9}}\Bigr\}.
A fronteira de D é dada pela curva de nível
x^{3} + 9y^{2} = 9,
e D corresponde à região interior a essa curva, estritamente à esquerda de x=\sqrt[3]{9}.

Passo 5

Para esboçar o domínio, note que:
– Quando y=0, a fronteira cruza o eixo x em \bigl(\sqrt[3]{9},0\bigr).
– Quando x=0, cruza o eixo y em \bigl(0,1\bigr) e \bigl(0,-1\bigr).
A curva x^{3}+9y^{2}=9 é semelhante a uma elipse deformada, aberta para a esquerda, e o domínio é a região sombreada no interior dessa curva.

Resposta

D = \Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\;\bigm|\;x^{3}+9y^{2}<9\Bigr\}
Esboço: região interna à curva x^{3}+9y^{2}=9, limitada à esquerda pelo valor x=\sqrt[3]{9}, interceptando (0,\pm1) e \bigl(\sqrt[3]{9},0\bigr).

Exercícios relacionados