Prove que \lim _{(x, y) \rightarrow (0,0)} não existe, quando:
f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}+y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) \quad\text{com}\quad f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}+y^{3}}
não existe. Vamos usar o teste de caminho, isto é, calcular o limite ao longo de duas curvas diferentes e ver que dão resultados distintos.

Passo 2

Considere a reta y=x. Substituindo em f,
f(x,x)=\frac{x^{2}-x^{2}}{x^{3}+x^{3}} =\frac{0}{2x^{3}} =0.
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\lim_{x\to0}f(x,x)=0.

Passo 3

Agora considere a reta y=0. Substituindo em f,
f(x,0)=\frac{x^{2}-0}{x^{3}+0} =\frac{x^{2}}{x^{3}} =\frac1{x}.
Para x\to0^+ temos f(x,0)\to+\infty, isto é, não converge a 0.

Passo 4

Vimos que ao longo de y=x o limite vale 0, mas ao longo de y=0 ele diverge. Como um limite em várias variáveis deve ser único se existir, concluímos que não há limite em (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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