(Fuvest) A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, em graus, de um dos ângulos formados pelas diagonais \overline{\mathrm{AC}} e \overline{\mathrm{BD}} é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 150

Passo 1

O enunciado dá um hexágono regular cujos vértices consecutivos são A,B,C,D,E,F e pede a medida do ângulo formado pelas diagonais \overline{AC} e \overline{BD}. Vamos usar coordenadas no plano e cálculo de produto escalar para encontrar esse ângulo.

Passo 2

Escolhemos um hexágono regular de centro na origem e raio 1 com vértices
A=(1,0),\quad B=\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad C=\Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad D=(-1,0).

Passo 3

Formamos os vetores que seguem as diagonais:
\overrightarrow{AC}=C-A=\Bigl(-\tfrac32,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr), \quad \overrightarrow{BD}=D-B=\Bigl(-\tfrac32,\;-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} =\Bigl(-\tfrac32\Bigr)\Bigl(-\tfrac32\Bigr) +\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =\tfrac{9}{4}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2},
\|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{BD}\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}\Bigr)}=\sqrt{3}.
Logo
\cos\theta =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}} {\|\overrightarrow{AC}\|\;\|\overrightarrow{BD}\|} =\frac{\tfrac{3}{2}}{3}=\tfrac12.

Passo 5

Daí \theta=60^\circ. Como as retas formam dois ângulos suplementares entre si, o outro ângulo vale
180^\circ-60^\circ=120^\circ.

Resposta

120

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