Calcule.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(5+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para menos infinito:
\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(5+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right).
Informações dadas:
  • A variável x tende para -\infty.
  • A expressão é a soma de três termos: 5, \dfrac{1}{x} e \dfrac{2}{x^{2}}.
    O que se deseja: o valor numérico do limite quando x\to -\infty.

Passo 2

Regra útil (teorema de limites para soma): se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem e são finitos, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} g(x).
Aplicando isso aqui, basta calcular separadamente os limites de 5, de \dfrac{1}{x} e de \dfrac{2}{x^{2}} quando x\to -\infty, e somá-los.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}.
Intuição: quando x\to -\infty o valor absoluto |x| cresce sem limite, então \dfrac{1}{x} fica cada vez mais próximo de 0. Formalizando com desigualdade: para x<0 vale
\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}.
Como |x|\to +\infty quando x\to -\infty, temos \dfrac{1}{|x|}\to 0. Logo
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0.
(Se quiser uma versão \varepsilon N: dado \varepsilon>0, escolha N=\dfrac{1}{\varepsilon}. Para x< -N tem \left|\dfrac{1}{x}\right|<\varepsilon.)

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{x^{2}}.
Observação: x^{2}\ge 0 e, enquanto x\to -\infty, tem-se x^{2}\to +\infty. Portanto a fração \dfrac{2}{x^{2}} tende a 0. Mais formalmente, para todo x\neq 0,
0\le \frac{2}{x^{2}}=\frac{2}{|x|^{2}}\le \frac{2}{|x|},
e como |x|\to +\infty temos \dfrac{2}{|x|^{2}}\to 0. Assim
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{x^{2}}=0.
(Versão \varepsilon N: dado \varepsilon>0, escolher N=\sqrt{\tfrac{2}{\varepsilon}} garante \left|\dfrac{2}{x^{2}}\right|<\varepsilon para x< -N.)

Passo 5

Somando os limites (pela regra do Passo 2):
\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(5+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) = \lim_{x\rightarrow -\infty}5 + \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x} + \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2}{x^{2}}.
Como \lim_{x\to -\infty}5=5 (constante), e dos passos anteriores os outros dois limites são 0, obtemos
5+0+0=5.

Resposta

5

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